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　　音頻與控制計(jì)算
　　3.1采樣定理
　　到目前為止，我們討論的數(shù)字音頻信號(hào)仿佛可以描述任意的時(shí)間函數(shù)，只要知道它們?cè)诟鱾€(gè)整數(shù)上的值就能以某種方式確定其在各個(gè)整數(shù)之間的值，這并非真的正確。例如，假設(shè)函數(shù)f（定義在實(shí)數(shù)域上）恰好在所有整數(shù)上都取1，即：
　　f（n）=1，n=.....，-1，0，1....
　　我們可能會(huì)猜測(cè)對(duì)于所有的實(shí)數(shù)t都有f（f）=1。但可能f僅僅是恰好對(duì)于所有整數(shù)取1，而在其他任何地方都為0--這也是一個(gè)完全沒問(wèn)題的函數(shù)，而且該函數(shù)在所有整數(shù)上的取值與簡(jiǎn)單的f（t）=1沒有任何區(qū)別。但直覺告訴我們，這個(gè)常數(shù)函數(shù)應(yīng)該是數(shù)字音頻信號(hào)的實(shí)質(zhì)，而那個(gè)在樣點(diǎn)之間藏著秘密的函數(shù)則不是。一個(gè)"可以被采樣"的函數(shù)應(yīng)該可以用某種合理的內(nèi)插方案從各個(gè)整數(shù)位置上的取值推演出它在非整數(shù)處的數(shù)值。
　　在這一點(diǎn)上，在計(jì)算機(jī)音樂的討論中習(xí)慣上會(huì)運(yùn)用著名的奈奎斯特定理（Nyquist Theorem）。該定理指出（粗略地說(shuō)）：如果一個(gè)函數(shù)是由有限個(gè)甚或是無(wú)限個(gè)正弦函數(shù)組合合成，而且沒有任何一個(gè)正弦的角頻率超過(guò)x，那么至少在理論上該函數(shù)完全可以由它在各個(gè)整數(shù)處的取值決定。重建該函數(shù)的一種可能方法就是使用階數(shù)越來(lái)越高的多項(xiàng)式內(nèi)插的極限形式。
　　角頻率n被稱為奈奎斯特頻率（Nyquist Frequency），如果R是采樣頻率的話，那么該角頻率對(duì)應(yīng)的是每秒R/2個(gè)周期。與此對(duì)應(yīng)的周期是2個(gè)樣點(diǎn)。若對(duì)于任意一個(gè)頻率高于奈奎斯特頻率的正弦，都能找到一個(gè)頻率低于奈奎斯特頻率的正弦，使兩者在所有整數(shù)上的取值都相等，那么在這種意義上奈奎斯特頻率就是我們能達(dá)到的最佳程度，而且低于奈奎斯特頻率的那些正弦是能夠通過(guò)理想內(nèi)插過(guò)程重建的。例如，一個(gè)正弦的角頻率在x到2元之間，比